Müslüm Doğan; 15 Ekim 1959 tarihinde Sivas'ın Divriği ilçesi Karakuzulu köyünde doğdu. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi'nden harita mühendisi olarak mezundur. Sosyal Güvenlik Kurumu'nda şube müdürlüğü ve daire başkan vekilliği yaptıktan sonra 2012 yılında emekli oldu. Türk Mühendis ve Mimar Odaları Birliği Harita ve Kadastro Mühendisleri odası GYK üyeliği, Divriği Derneği Başkanlığı ve Pir Sultan Abdal Derneği Genel Başkanlığı yaptı. Alevilik konusunda ve mesleki nitelikte çok sayıda yayınlanmış makaleleri bulunan Müslüm Doğan, Alevilik üzerine yaptığı çalışmalarla da tanınıyor. Doğan, Halkların Demokratik Partisi'nin kuruluşunda yer alan ve ilk dönem Merkez Yürütme Kurulu üyesi olarak görev yaptı. İlk defa Haziran 2015 Türkiye genel seçimlerinde HDP İzmir 2. bölge milletvekili olarak meclise girdi. 27 Ağustos 2015 tarihinde Ahmet Davutoğlu tarafından kurulan 63. Türkiye Hükûmetinde bakanlık yaptı.
Evli ve bir çocuk babasıdır.